АННОТИРОВАННЫЙ ОТЧЕТ ПО ПРОЕКТУ
Соглашение №14.A18.21.0366 от 10 сентября 2012 (с учетом дополнительного соглашения от 18 марта 2013)
Тема: «Задачи геометрической теории многочленов»
Исполнитель: Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Дальневосточный федеральный университет
Ключевые слова: полиномы, неравенства для полиномов, нули и критические точки
- Цель проекта
1.1. Формулировка задачи / проблемы, на решение которой направлен реализованный проект.
Решение задач, связанных с многочленами и их нулями, представляющих как самостоятельный интерес, так и имеющих приложения, например, в теории аппроксимации и статистике. В частности, задача о сравнении равномерной и дискретной норм полиномов на различных подмножества комплексной плоскости.
1.2. Формулировка цели реализованного проекта, места и роли результатов проекта в решении задачи / проблемы, сформулированной в п. 1.1
В ходе реализации проекта планируется получить неравенства для полиномов и рациональных функций, уточняющие известные результаты. Доказать теоремы о сравнении дискретной и равномерной норм полинома на дуде окружности. Уточнить оценки о расположении нулей и критических точек многочленов, средствами теории функций комплексного переменного и матричного анализа.
- Основные результаты проекта
2.1. Краткое описание основных полученных результатов (основные теоретические и экспериментальные результаты, фактические данные, обнаруженные взаимосвязи и закономерности, характеристикисозданной научной продукции)/ Указание основных характеристик созданной научной продукции (при наличии научной продукции)
Доказаны неравенства, содержащие дискретную и равномерную нормы полиномов на отрезке и дуге окружности. В основе доказательств лежат неравенства бернштейновского типа полученные недавно в совместной работе с Дубининым В.Н.
Получены точные неравенста для полиномов, нормированных на дуге окружности, их производных и коэффициентов. Эти результаты усиливают и дополняют аналогичные недавние резельтаты совместной работы Дубинина В.Н. и Калмыкова С.И. Экстремальным полиномом в этих неравенствах являтся полином Виденского.
Доказаны неравенства для модулей рациональных функций с предписанными полюсами, лежащими во внешности единичного круга. Рассмотрен также случай, когда рациональная функция не имеет нулей в единичном круге. Кроме того, для рациональных функций с предписанными полюсами, нормированных на дугах единичноей окружности доказаны теорема покрытия, неравенство бернштейновского типа, оценка модуля произведения старшего и свободного члена числителя данной рациональной функции. Экстремальный случай описан в терминах полного n-кратного накрытия одной области другой областью.
Доказана положительность коэффициентов, а следовательно и отсутствие нулей на вещественной положительной полуоси, одного класса многочленов, выражающихся через восходящие факториалы и зависящей от произвольной логарифмически вогнутой последовательности. Эти полиномы возникают естественным образом при изучении логарифмической вогнутости рядов по восходящим факториалам. Также рассмотрены полиномы с производящей функцией, равной определителю Тёплица, элементами которого являются ряды по восходящим факториалам. В продолжение этого направления нами получены оценки Туранианов для некоторых q-аналогов рассматриваемых ранее нами функций.
Используя недавние результаты о сопровождающей матрице производной полинома и некоторые неравенства для ее собственных значений, получены оценки вещественных частей критических точек многочлена через его нули.
Также для локализации критических точек многочлена получены некоторые уточнения множеств, которым принадлежат эти точки, используя различные утверждения подобные теореме Гершгорина, а также исследуя структуру рассматриваемой матрицы.
Результаты были представлены в устных докладах на конференция и семинарах различного уровня.
Проведены численные эксперименты, подтверждающие гипотезы, выдвинутые Д.Б. Карпом о свойствах многочленов, совпадающих с многочленами, рассматриваемыми в его работах или имеющих подобную структуру. Численно изучаются свойства многочленов, которые могут быть экстремальными в задаче о наибольшей области значений многочленов в случае области, ограниченной двумя дугами окружностей с общими концами («лунка»), подобно тому как были найдены экстремальные многочлены для ряда областей основоположники этого направления S. Ruscheweyh и A. Cordova.
2.2. Описание новизны научных результатов.
Все полученные результаты являются новыми, большинство из них дополняют или усиливает полученные ранее соответствующие утверждения.
2.3.Сопоставление с результатами аналогичных работ мирового уровня.
Оценкам роста многочленов и рациональных функций посвящено большое количество работ. Отметим таких авторов, как А.А. Гончар, N.C. Ankeny, T.J. Rivlin, N.K. Govil, R.N. Mohapatra, M. A. Qazi. Нами были улучшены и дополнены результаты N.K. Govil, R.N. Mohapatra для рациональных функций с предписанными полюсами, лежащими во внешности единичного круга. Результаты работы, посвященной сравнению дискретной и равномерной норм полиномов на дуге окружности в предельном случае дают недавнее неравенство, доказанное В.Н. Дубининым, для указанных норм на всей окружности и соответственно дополняют результаты Е. Рахманова, Б. Шехтмана, T.Sheil-Small. Исследование, посвященное коэффициентам полиномов, связанных с рядами по восходящим факториалам была мотивирована недавними работами Д.Б. Карпа и С.М. Ситник, в которых например, в качестве следствий получены неравенства для гипергеометрических функций, усиливающие и дополняющие результаты R.W. Barnard, M.B. Cordy, K.C. Richards, A. Baricz. и д.р. Полученные нами неравенства для вещественных частей критических точек полиномов дополняют недавние результаты W.S. Cheung, T.W. Ng, F. Kittaneh, при этом используется другая сопровождающая матирица матрица производной многочлена.
- Назначение и область применения результатов проекта
3.1. Описание областей применения полученных результатов (области науки и техники; отрасли промышленности и социальной сферы, в которых могут или уже используются полученные результаты или созданная на их основе инновационная продукция).
Полученные результаты могут быть использованы в различных областях математики, например, в теории аппроксимации и интерполяции, в вопросах, связанных с приближениями на дугах единичной окружности, численных методах, многомерной статистике, а также некоторые результаты, связанные с гипергеометрическими функциями, имеют приложения в финансовой математике.
3.2. Перспективы практического применения и коммерциализации результатов проекта
Не предусмотрено соглашением
3.2.1. Описание направлений практического внедрения полученных результатов или перспектив их использования.
Не предусмотрено соглашением
3.2.2. Оценка или прогноз влияния полученных результатов на развитие научно-технических и технологических направлений; на разработку новых технических решений; на изменение структуры производства и потребления товаров и услуг в соответствующих секторах рынка и социальной сферы.
Не предусмотрено соглашением
3.2.3. Описание ожидаемых социально-экономических и др. эффектов от использования товаров и услуг, созданных на основе полученных результатов (повышение производительности труда, снижение материало- и энергоёмкости производства, уменьшение отрицательного техногенного воздействия на окружающую среду, снижение риска смертности, повышение качества жизни и т.п.).
Не предусмотрено соглашением
3.2.4. Описание существующих или возможных форм коммерциализации полученных результатов: организация производства продукции и/или оказание услуг, в том числе с образованием нового юридического лица или без него; заключение лицензионных договоров, заключение договоров уступки прав на РИД. Либо указывается: «Коммерциализация проектом не предусмотрена».
Не предусмотрено соглашением
3.2.5. Описание видов новой и усовершенствованной продукции (услуги), которые могут быть созданы или уже созданы на основе полученных результатов интеллектуальной деятельности (РИД); указание предполагаемых или фактических рынков сбыта.
- Перспективы развития исследований
Краткая информация о перспективах развития выполненного в ходе выполнения проекта исследования.
1) ) Информация о том, насколько участие в ФЦП способствовало формированию новых исследовательских партнерств. Участвует ли научный коллектив в проектах по 7-й рамочной Программе Евросоюза (с указанием названия проектов и перечня партнеров по ним). Благодаря участию в ФЦП был организован научный коллектив для решения ряда актуальных задач, связанных с многочленами, развития и использования новых методик. Поддерживаются связи с иностранными коллегами. Имеется возможность представить полученные результаты на конференциях и семинарах для обсуждения и привлечения новых участников в качестве исполнителей.
2) Краткая информация о проектах научного коллектива по аналогичной тематике.Некоторые члены научного коллектива участвуют в проекте РФФИ № 11-01-00038 «Емкости конденсаторов, симметризация и задачи геометрической теории функций»+,. Под руководством В.Н Дубинина.
3) Информация о том, сотрудничество с какими странами и исследовательскими центрами может способствовать наибольшей отдаче для развития в России технологий в области исследования, а также для выхода российской продукции на региональные и глобальные рынки. На наш взгляд, сотрудничество с исследовательскими группами под руководством профессоров T.W. Ng (Университет Гонконга, Гонконг, КНР), S. Ruscheweyh Университет Вюрцбурга, Германия), V. Totik (университет Сегеда, Венгрия), O. Holtz (Технический университет Берлина, Германия; Калифорнийский университет, Беркли, США) может оказать существенную помощь в проведении исследований по тематике проекта и распространению полученных результатов среди специалистов.
- Опыт закрепления молодых исследователей – участников проекта (этапа проекта) в области науки, образования и высоких технологий
Закреплены следующие специалисты
1. Калмыков Сергей Иванович 23.10.1984 года рождения принят на работу (перезаключен контракт) на должность доцента Дальневосточного федерального университета, также является научным сотрудником Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук.
2. Первухин Михаил Александрович 03.08.1984 года рождения принят на работу на должность доцента Дальневосточного федерального университета.
3. Калмыкова Татьяна Александровна 23.04.1988 года рождения аспирант второго года обучения в аспирантуре Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук на следующий год обучения, принята на должность администратора образовательных программ Школы естественных наук Дальневосточного федерального университета.
4. Жуплев Антон Сергеевич 07.05.1989 года рождения аспирант второго года обучения в аспирантуре Дальневосточного федерального университета, ассистент Дальневосточного федерального университета.
5. Птахов Денис Олегович 12.12.1990 года рождения студент пятого курса Школы естественных наук Дальневосточного федерального университета, техник-лаборант кафедры алгебры геометрии и анализа Дальневосточного федерального университета.
6. Ефремов Евгений Леонидович 16.12.1991 года рождения студент пятого курса Школы педагогики Дальневосточного федерального университета. Оператор ЭВМ в Дальневосточном федеральном университете.
7. Кудрявцева Ольга Сергеевна 20.01.1983 года рождения ассистент Волжского гуманитарного института (филиал) Волгоградского государственного университета.
8. Сотник Екатерина Викторовна Студентка второго курса магистратуры Дальневосточного федерального университета
Руководитель Проекта – Калмыков С.И.